【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」いと分かる。なぜなら【2】でMTが一対一だから【2】のVの存在は一意的だからだ。すなわち、Vの任意の二つの元の積はまたVの元になる。したがって、Vは群をなす。【1】and【2】⇒【4】の証明:Tから勝手に一つの元を選んで、それをTとしてよい。すると【2】より∀T∈T;∃V∈V;MTV=MTが言えるし、【1】より∀V∈V;∃T∈T;MTV=MTも言える。【3】and【4】⇒【1】の証明:T∈Tに対して(∀T∈T;∃V∈V;MTV=MT)and(∀V∈V;∃T∈T;MTV=MT)が成り立つものとする。すると勝手に選んだT(1)∈Tに対して、MT(1)V=MTを満たすV∈Vが存在し、さらに勝手に選んだV'∈Vに対して、【3】よりV'VはVの元だから、MT(2)V'V=MTを満たすT(2)∈Tが存在する。これらに対してはMT(2)V'V=MT(1)Vが成り立ち、したがってMT(2)V'=MT(1)も成り立つ。すなわち、∀T(1)∈T;∀V'∈V;∃T(2)∈T;MT(2)V'=MT(1),【3】and【4】⇒【2】の証明:T∈Tに対して(∀T∈T;∃V∈V;MTV=MT)が成り立つものとする。すると勝手に選んだT(1),T(2)∈Tに対して、MT(1)V1=MT,MT(2)V2=MTを満たすV1,V2∈Vが存在し、したがってMT(2)V2(V1)-1=MT(1)が成り立つ。【3】よりV2(V1)-1はVの元だから、結局【2】が成り立つことを示せたことになる。【5】⇒【6】の証明:【5】よりLT=LT(MT)-1MTだから、MTV=MTならば、LTV=[LT(MT)-1MT]V=LT(MT)-1(MTV)=LT(MT)-1MT=LT
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