【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」2-3-1対称性についての定義,本節§2-3では二つ以上の理論を比較するために、自然の数学的古典理論TのF,M,H,LをFT,MT,HT,LTと書くことにする。本節では、比較される二つの理論で用いられる基礎未定義語について、同じ語は同じ意味を表すものとする。自然の任意の二つの数学的古典理論T,Tに対して、FTからFTの上への一対一写像をTからTへの座標変換と呼ぶことにする。座標変換は数学上の写像だ。数学上の任意の集合Fと、F上の任意の方程式Lと、FからFへの任意の写像Vに対して、LV=Lが成り立つことを「LはVの下で不変だ」と言う。数学上の任意の二つの集合A,Bと、A×B上の任意の方程式eと、AからAへの任意の写像Vに対して、[∀b∈B;∃b'∈B;∀a∈A;e(a,b)⇔e(V(a),b')]が成り立つことを「eはVの下で共変だ」と言うことにする。不変性や共変性を利用すれば、§2-1-3で述べた具体的な解から変換によって、もっと色々な解を実際に求めることが出来る。自然の任意の数学的古典理論Tと、FTからFTの上への任意の一対一写像Vに対して、FT=FT,MTV=MT,HT=HT,LTV=LTを満たす自然の数学的古典理論Tが存在する。このようなTはTと同一の内容を異なる言い方で述べたものと見なせる。特にTが自然の準マッハ模型で、さらに[∃v∈NT(NT);∀f∈FT;V(f)=fv]という場合には、MTとMTの違いは、同じ物理量を異なる名前(§2-1-1)で呼んでいるという点にのみあり、Vは物理量の名前の付け替えを表す。例えば、NT=2,v(1)=2,v(2)=1,FT=R+(2),MT(f)=「身長がf(1)センチ・メートル、体重がf(2)グラムだ」,MT(f)=「身長がf(2)センチ・メートル、体重がf(1)グラムだ」もし、物理量の名前の付け替えを表すVの下でLTが不変ならば、NTが均質なのだと解釈できる。自然の任意の数学的古典理論Tに対して、LTを不変にするFTからFTの上への一対一写像全体の集合を、Tの固有変換群と呼びVTと書くことにする。数学上の任意の集合Fと、F上の任意の方程式Lに対して、Lを不変にする、FからFの上への一対一写像全体の集合は群をなす。これは純粋に数学上
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