【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」の定理だ。これより、自然の任意の数学的古典理論Tに対して、VTは群をなすことが分かる。MTV=MTという式を解釈するためには、f∈Fを使って[MTV](f)=MT(f)をMT(V(f))=MT(f)の形に変形しておくと分かり易い。この式は、Tでfによって表されるのと同一の歴史が、TではV(f)によって表されることを意味する。LTV=LTに対しては二通りの見方が出来る。一つはLT(V(f))=LT(f)に基づいて、MT(f)が可能ならばMT(V(f))も可能だと結論する見方で、これを能動的見方と言う。もう一つは、LTV=LTと組み合わせてLT=LTと結論する見方で、これを受動的見方と言う。どちらの見方も正しいが、受動的な見方が出来るのは、VがFTからFTの上への一対一写像である場合に限られる。MTV=MTに対する上記の解釈は、受動的な見方に属する。座標変換という名称も受動的な見方を反映している。能動的見方と受動的見方の違いを一言で言うと、それは歴史を変えるか座標系を変えるかの違いだ。マッハ描像では、Fの各元をn個の数の組、Lをその数の組に対するm個の方程式と見なすのだった。これに従えば、Fとしてn次元空間をイメージし、Lの解全体の集合として、この空間内のn-m次元図形をイメージすることが出来る。n=3,m=1の場合にはこの図形は面だし、n=3,m=2の場合にはこの図形は線となる。Vによるこの図形の像は、またF内の図形となるが、LがVの下で不変であるとは、Vによる像がもとの図形にぴったり重なることに他ならない。対称性という語の由来はここにある。対称性という語を物理学では、共変性や不変性を指して漠然と用いる。Tを空でない集合とし、Tの元はすべて自然の数学的古典理論であり、[∀T,T∈T;HT=HT
and FT=FT]が成り立ち、(∀T∈T;MTは一対一だ)とする。集合Fを(∀T∈T;FT=F)によって定義しておく。またVを集合とし、Vの元はすべてFからFの上への一対一写像だとする。このとき、以下の条件のうちの【1】【2】が成り立てば【3】【4】も成り立ち、逆に【3】【4】が成り立てば【1】【2】も成り立つ。【1】∀T∈T;∀V∈V;∃T∈T;MTV=MT【2】∀T,T∈T;∃V∈V;MTV=MT【3】Vは群をなす。
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