| 【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」また、記号∈を用いて、∀x,y:実数;(x+y)2=x2+2xy+y2を∀x,y∈R;(x+y)2=x2+2xy+y2と書いたり、{x:自然数|x<10}を{x∈N|x<10}と書いたりすることがある。これらの文から、「x,y∈R」や「x∈N」の部分だけを取り出して、「xもyもRの元だ」とか「xはNの元だ」という風に部分訳を付けてはいけない。「∀x,y∈R;」の代わりに「Rの任意の元x,yに対して、」とか、「任意のx,y∈Rに対して、」と書くことがある。この他にも例えば、「∀i∈{1,2,5,9};」の代わりに、「i=1,2,5,9のとき、」と書くこともある。文字式の空欄に代入する語を制限するのを全く止めて、∀x,y∈R;(x+y)2=x2+2xy+y2を∀x,y;x∈R
and y∈R⇒(x+y)2=x2+2xy+y2という風に書いても良い。{x∈N|x<10}は{x|x∈N
and x<10}とも書かれる。A,Bを集合とするとき、{x|x∈A and x∈B}を「AとBの交わり」と呼び、A∩Bと略記する。{x|x∈A
or x∈B}を「AとBの結び」とか「AとBの和集合」と呼び、A∪Bと略記する。また、{x|x∈A
and not x∈B}をA-Bと略記することがある。{(x,y)|x∈A and y∈B}を「AとBの直積」と呼び、A×Bと略記する。例えば、{1,2,3}×{1,2}とは{(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(3,2)}のことだ。本書では例えば、(3×3)×3と3×(3×3)を区別せず、3×3×3と書くことにする。これらの元についても、((1,2),3)=(1,(2,3))=(1,2,3)などと見なすことにする。演算順序については、∪よりも∩を先に演算し、∩よりも×を先に演算する。∀a∈A;a∈Bという命題をA⊂Bと略記することがある。A⊂Bならば、「AはBに含まれる」と言い、Aを「Bの部分集合」と呼ぶ。A⊂B
and B⊂Aという命題をA=Bと略記する。当たり前のように見えるが、この取り決めは集合という語の持つ曖昧さを縮小する働きを持つ。もし、この取り決めがなければ、{1,2,5,9}={1,5,9,2}とやって良いのかどうかはっきりしない。Z={x|x∈N
or -x∈N or x=0}などとも書ける。 |
