| 【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」1-2-3方程式,空欄に数や関数を代入すると、完成文が命題を表すようになる、そのような文字式を方程式と呼ぶ。このことは、§1-1-2で既に述べた。方程式を、数や関数を命題に写す写像と考えても良い。例えば、3x+1=0という方程式は、0を3×0+1=0という偽命題に写し、5を3×5+1=0という偽命題に写し、-1/3を3×(-1/3)+1=0という真命題に写すという具合だ。以後、本書では、たいてい、方程式を写像と見なして、話を進める。Sを集合とし、Eを方程式とするとき、Eの定義域がSならば、Eを「S上の方程式」と呼ぶことにする。Sを集合とし、EをS上の方程式とするとき、{x∈S|E(x)}の元を「Eの解」と呼ぶ。本書でも、マッハの描像(§2-1-1)について述べるときには例外的に、方程式を写像ではなく文字式として扱う。そのための準備として、ここで少し、方程式を文字式と考える場合の説明をしておく。例えば、x+2y+3z+4w=5
and 5x+4y+3z+2w=1この方程式の完成文が真命題となるような、空欄への代入の仕方を網羅するには、x,yを独立変数、z,wを従属変数に選んで、w=2+2x+y,z=-1-3x-2yに従うとか、y,wを独立変数、x,zを従属変数に選んで、z=2-(1/2)y-(3/2)w,x=-1-(1/2)y+(1/2)wに従って代入すればよい。x,y,z,wのうちのどの二つを独立変数に選んでもよい。独立変数と従属変数の個数は選び方によって変化しない。連立一次方程式の場合、それがn個の変数についてのm個の等式によって表されるならば、独立変数の個数はn-mとなる。従属変数の個数はmだ。一次でない連立方程式についても、ほぼこうなる。ただし、m個の等式の中に、他の等式から導き出せるものが入っていてはならぬ。例えば、4つの変数に対する3つの等式で表される方程式x+y=2and
x+y+z+w=3and z+w=1については、1,2番目の等式から3番目の等式が導き出されるので、独立変数の個数は4-3ではなく |
