【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」3-2-1幾何学語で一般相対性理論を書く,以下の文章をT9(I,J,σ)と呼ぶことにする。[1]∀M:時空;(Mの時空点全体の集合をMの時空間と呼ぶことにする)[2]∀M:時空;∀D⊂Mの時空間;∀S;[∃D'⊂N01;(SはD'からDの上への一対一写像だ)]⇒(SをD上の時空座標系と呼ぶことにする)[3]∀M:時空;∀D⊂Mの時空間;∀l;[∃S:D上の時空座標系;∃x∈{t∈R|0≦t≦1}→(Sの定義域);l={S(x(t))|0≦t≦1}and(xは一対一だ)]⇒(lをD内の線分と呼ぶことにする)[4]∀M:時空;∀D⊂Mの時空間;∀l:D内の連続な線分;∀P,Q∈l;[not∃l':D内の連続な線分;(P∈l')and(Q∈l')and(l'⊂l)and(l'≠l)]⇒(lはPとQを両端に持つと言うことにする)[5]∀M:時空;∀D⊂Mの時空間;【1】⇒【2】【1】∀P,Q∈D;(P≠Q)⇒[∃l:D内の連続な線分;(lはPとQを両端に持つ)]【2】DをMの連続領域と呼ぶことにする[6]∀M:時空;∃N⊂N;∃D∈N→(Mの連続領域全体の集合);∀P:Mの時空点;∃n∈N;P∈D(n)[7]∀M:時空;∀D:Mの連続領域;∀S:D上の時空座標系;[【1】and【2】]⇒【3】【1】∀x∈{t|0≦t≦1}→(Sの定義域);(xは一対一かつ連続だ)⇒[{S(x(t))|0≦t≦1}はD内の連続な線分だ]【2】∀l:D内の連続な線分;∃x∈{t|0≦t≦1}→(Sの定義域);(xは一対一かつ連続だ)and
l={S(x(t))|0≦t≦1}【3】Sは連続だと言うことにする[8]{α∈R(2)|α(1)≧0 and α(2)≧0}から長さ全体の集合の上への一対一写像が存在する。[9]そのような写像をスケールと呼ぶことにする。
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