【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」[10]∀M:時空;∀P,Q:Mの時空点;∀ε>0;∀σ':スケール;【1】⇒【2】【1】∃D⊂Mの時空間;∃l:D内の連続な線分;∃α∈R(2);(lの長さ)=σ'(α)and[0≦α(1)<ε]and[0≦α(2)<ε]and(lはPとQを両端に持つ)【2】PはQの(ε,σ')近傍内にある、と言うことにする[11]∀M:時空;∀P:Mの時空点;∀ε>0;∀σ':スケール;[Mの時空点のうちで、Pの(ε,σ')近傍内にある時空点全体の集合を、Pの(ε,σ')近傍と呼ぶことにする][12]∀σ':スケール;∀M:時空;∀D⊂Mの時空間;∀S:D上の時空座標系;[【1】and【2】]⇒【3】【1】∀ξ∈(Sの定義域);∀ε>0;∃δ>0;∀η∈(Sの定義域);|ξ-η|<δ⇒[S(η)はS(ξ)の(ε,σ')近傍内にある]【2】∀ξ,η∈(Sの定義域);(ξ≠η)⇒[∃x∈{t|0≦t≦1}→(Sの定義域);(xは一対一かつ連続だ)and
ξ=x(0)and η=x(1)]【3】Sはσ'連続だと言うことにする[13]∀σ':スケール;∀M:時空;∀D⊂Mの時空間;(D上のσ'連続な時空座標系が存在するならば、DをMのσ'連続な領域と呼ぶことにする)[14]∀σ':スケール;∀M:時空;∀D:Mの連続領域;∀S:D上の連続な時空座標系;∀f∈F5;【1】⇒【2】【1】∀l:D内の連続な線分;∀x∈{t|0≦t≦1}→(Sの定義域);【1a】⇒【1b】【1a】l={S(x(t))|0≦t≦1}and(xは一対一かつ微分可能だ)【1b】∃α∈R(2);(lの長さ)=σ'(α)and
α(1)=∫1t=0Θ(s(t,x,f))√s(t,x,f)and α(2)=∫1t=0Θ(-s(t,x,f))√-s(t,x,f)ただし、s(t,x,f)は次式によって定義されるものとする。
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