【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」③は乗法の下で群を成す。F∈R+(R+×R+)とするとき、∀s,t∈R+;F(s,t)=s×tならば、R+はFの下で群を成す。単位元は1、∀s∈R+;sの逆元は1/s④1は乗法の下で群を成す。F∈(1×1)→1とするとき、F(1,1)=1ならば、1はFの下で群を成す。単位元は1、1の逆元は1⑤n∈Nとし、F∈Pn(Pn×Pn)とするとき、∀s,t∈Pn;F(s,t)=stならば、PnはFの下で群を成す。単位元は1、∀s∈Pn;sの逆元はs-1(逆写像§1-2-1参照)⑥F∈[SO(3)×SO(3)]→SO(3)とするとき、∀s,t∈SO(3);∀i,j∈3;[F(s,t)](i,j)=3∑k=1s(i,k)t(k,j)ならば、SO(3)はFの下で群を成す。単位元はδ(3,3)だ。単位行列(§1-2-2)という語の由来はここにある。⑦F∈L↑+(L↑+×L↑+)とするとき、∀s,t∈L↑+;∀i,j∈4;[F(s,t)](i,j)=4∑k=1s(i,k)t(k,j)ならば、L↑+はFの下で群を成す。単位元はδ(4,4)だ。⑥⑦では逆元は逆行列だ。群論と呼ばれる数学の一分野では、群の公理から、論理的に何が導き出されるかが、研究される。群の公理のみを仮定して導き出される結果(定理)は、群の公理を満たすどんな集合に対しても成り立つので、そのような研究は有用だ。
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