【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」1-5群論と抽象数学Sを集合とし、FをS(S×S)の元とするとき、以下の条件が全て成り立つならば、「SはFの下で群をなす」と言う。[条件1]∀s,t,u∈S;F(F(s,t),u)=F(s,F(t,u))[条件2]∃s∈S;[∀t∈S;F(s,t)=F(t,s)=t]and[∀t∈S;t≠s⇒[∃u∈S;F(t,u)≠u
or F(u,t)≠u]][条件3]∀s∈S;∃t∈S;∀u∈S;F(F(s,t),u)=F(u,F(s,t))=uこれらの条件を群の公理と呼ぶ。Fが何か了解済みの時には、F(s,t)を単にstと書くことが多い。条件2のsを「Sの単位元」と呼ぶ。条件2の後半は、Sの単位元が一つしか存在しないことを表す。条件3は∀s∈S;∃t∈S;F(s,t)がSの単位元になる,ことを表す。条件3のtを「sの逆元」と言う。sの逆元をs-1と書くことがある。tがsの逆元ならば、F(t,s)も単位元になる。Sとしては、数や関数の集合を具体的に色々と考えることが前提になっている。群という抽象的な集合があるのではない。群という語は、群の公理を満たす具体的な集合の総称だ。以下に、群の具体例を挙げる。①Zは加法の下で群を成す。F∈Z(Z×Z)とするとき、∀s,t∈Z;F(s,t)=s+tならば、ZはFの下で群を成す。単位元は0、∀s∈Z;sの逆元は-s②{0}は加法の下で群を成す。F∈({0}×{0})→{0}とするとき、F(0,0)=0+0ならば、{0}はFの下で群を成す。単位元は0、0の逆元は0
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