【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」群に限らず、数学で用いられる抽象的な概念は全て、具体的な概念の総称になっている。数学に於いて具体的な概念とは、突き詰めれば自然数だ。例えば、実数はすべてN(N)の元に対応付けられる。100π=314.1592・・・を例にとって説明しよう。x∈N(N)とするとき、xが100πに対応するならば、符号を見てx(1)=2、1の位の数字を見てx(2)=4+1、0.1の位の数字を見てx(3)=1+1、10の位の数字を見てx(4)=1+1、0.01の位の数字を見てx(5)=5+1、100の位の数字を見てx(6)=3+1、0.001の位の数字を見てx(7)=9+1、1000の位の数字を見てx(8)=0+1、0.0001の位の数字を見てx(9)=2+1、・・・と決めればよい。xが-100πに対応するならば、符号を見てx(1)=1と決める。一般的に言うと、Fを{x∈10(N)|x(1)≦2and
not∀n∈N;x(n)=1}からRへの写像とするとき、∀x∈{x∈10(N)|x(1)≦2and not∀n∈N;x(n)=1};F(x)=(-1)x(1)[[x(2)-1]+0.1[x(3)-1]+10[x(4)-1]+0.01[x(5)-1]+100[x(6)-1]+0.001[x(7)-1]+・・・]ならば、Fは一対一対応になっている。一対一にこだわらなければ、FをN(N)からRへの写像とするとき、∀x∈N(N);F(x)=(-1)x(1)[[x(2)-1]+0.1[x(3)-1]+10[x(4)-1]+0.01[x(5)-1]+100[x(6)-1]+0.01[x(7)-1]+・・・]ならば、FはN(N)からRの上への写像になっている。関数はR(R)の元だから、N(N)→N(N)の元で代用できるし、微分はR(R)→R(R)の元だから、[N(N)→N(N)]→[N(N)→N(N)]の元で代用できる。同様にして、如何に複雑な数学上の具体的な概念もNから組み立てることが出来るだろう。逆に、Nから組み立てることの出来ない概念は、数学的には荒唐無稽だという批判を受けねばならぬ。本書では出来るだけ基礎に立ち返った(具体的な)書き方を心がけたが、それでもRをNに還元するのはやめておいた。あまりにも読みにくくなるからだ。
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