【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」∀j∈{4,5};∀n∈N;∀f∈F4,n;∀m∈R(2×{1,・・・,n});e'j(f,m)⇔[∃g∈F4,n(R);【1】and【2】]【1】∀a>0;ej(g(a),m;a)【2】lim
a→+0 g(a)=fここまでの手続きを正則化(regularization)と呼ぶ。デルタ関数をΔ(a)に取り替える以外にも、色々と異なる正則化の方法が考えられる。さて、e'4(□,m)もe'5(□,m)も、m∈R(2×1)のときにはF4,1の中に解を持つ。しかしn≧2,m∈R(2×{1,・・・,n})の場合には解を持たない。したがって、e'4(□,m)もe'5(□,m)も、まだ目指すもっともらしい運動方程式ではない。そこで登場するのが繰り込み(renormalization)だ。繰り込みとは、何か適当な写像ω∈[R(2×{1,・・・,n})×R]→R(2×{1,・・・,n})を見つけて、eR5を以下のように定義することだ。∀f∈F4,n;∀m∈R(2×{1,・・・,n});eR5(f,m)⇔[∃g∈F4,n(R);【1】and【2】]【1】∀a>0;e5(g(a),ω(m,a);a)【2】lim
a→+0 g(a)=fもし、∀m∈R(2×{1,・・・,n});∀a>0;∀k∈{1,・・・,n};[ω(m,a)](1,k)=m(1,k)-[m(2,k)]2/(4πa),[ω(m,a)](2,k)=m(2,k)という風にωを定めれば、eR5(□,m)にはn≧2の場合にも解があり、この場合には以下の定理が成り立つ。∀f∈F4,n;∀m∈R(2×{1,・・・,n});[【1】and【2】]⇒eR5(f,m)【1】f(N3)=n∑k=1E-(f(N1,k),m(2,k))【2】∀k∈{1,・・・,n};eR1(f(N1,k),∑j∈{1,・・・,n}-{k}E-(f(N1,j),m(2,j)),m(□,k))
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