【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」⑭F,G∈R(R)とするとき、∂G=Fならば、GをFの不定積分と呼ぶ。GがFの不定積分ならば、∀a,b∈R;G(b)-G(a)を∫bx=aF(x)とも書き、これをFの定積分と呼ぶ。この書き方は、普通の書き方と少し違うが、シグマ記号との類似性を前面に出して、本書ではこう書くことにする。シグマ記号や∀や∃についてと同様に、limx→aF(x)をlimy→aF(y)と書いたり、∫bx=aF(x)を∫by=aF(y)と書いたりしても良い。lima→+∞∫+ax=-aを∫+∞x=-∞と書いたりもする。∈とするとき、がの不定積分ならば、[∀a,b∈R;G(b)-G(a)=H(b)-H(a)]⇔(HもFの不定積分だ)すなわち、一つの関数の不定積分は一つだけではないが、定積分は一つだけだ。このことが「定積分」「不定積分」という語の由来だ。変数xについての方程式が、xの微分を用いて書かれているか、xの偏微分を用いて書かれているか、xの積分を用いて書かれているかに応じて、その方程式は微分方程式、積分方程式、偏微分方程式と呼ばれる。これらの方程式の解は、数ではなく関数だ。
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