【SEOテキスト】宇田雄一「古典物理学」さて、数学の公理は、Nから組み立てられるあらゆる具体概念の内から、都合の良いものだけを選び出す方程式だ。公理によって抽象的な概念が定義される。群の公理の解を群、環の公理の解を環、体の公理の解を体、線形空間の公理の解を線形空間と呼ぶ。という具合にだ。具体的と言えるのは、Nから組み立てられる概念のみであって、日常においては十分に具体的だと思われている実数ですら、実数の公理によって定義される抽象的な概念と見るべきだ。Sを集合とし、F,G∈S(S×S)とし、HをS×S上の方程式とするとき、[公理1]Sが(F,G)の下で体を成す。[公理2]SがHの下で全順序集合を成す。[公理3]∀A,B⊂S;【1】⇒【2】and
not【3】or not【2】and【3】,【1】(∃a;a∈A)and(∃b;b∈B)and(not∃c;c∈A
and c∈B)and∀a∈A;∀b∈B;H(a,b)【2】∃a∈A;∀b∈A;H(b,a)【3】∃a∈B;∀b∈B;H(a,b)[公理4]∀a,b,c,d∈S;【4】and【5】and[【6】and【7】⇒【8】]【4】H(b,a)andH(d,c)⇒H(F(b,d),F(a,c))【5】H(b,a)⇒H(Fに関するaの逆元,Fに関するbの逆元)【6】H((F,G)に関するSのゼロ元,a)and
not(F,G)に関するSのゼロ元=a【7】H((F,G)に関するSのゼロ元,b)and not(F,G)に関するSのゼロ元=b【8】H((F,G)に関するSのゼロ元,G(a,b))and
not(F,G)に関するSのゼロ元=G(a,b)[公理5]∀N⊂S;【9】⇒【10】,【9】∃M∈N(N);【9a】and【9b】,【9a】Mは一対一対応だ【9b】∀a,b∈N;M(a+b)=F(M(a),M(b))andM(a×b)=G(M(a),M(b))【10】not∃a∈S;∀b∈N;H(b,a)
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